Este texto é uma introdução aos fundamentos e linguagem da matemática da física moderna e da engenharia, desenvolvidos desde o início do século xx. Os conceitos mais importantes abordados neste curso são a teoria do integral de Lebesgue, os espaços de Hilbert, a teoria dos operadores, a análise de Fourier, a teoria das distribuições ou funções generalizadas e as equações às derivadas parciais. Estas matérias estão presentes em todas as abordagens da física ao mundo macroscópico e microscópico.
Da mecânica quântica e teoria quântica dos campos aos aspetos mais modernos da teoria das cordas, o formalismo e a linguagem que aqui se introduzem são essenciais para a compreensão da física atual. Do ponto de vista das aplicações, a eletrónica dos semicondutores, a estrutura interna dos microprocessadores, o laser, os ecrãs planos, entre outros, são consequências práticas da física moderna.
Este livro baseia-se no curso de Técnicas Matemáticas da Física lecionado no terceiro ano do Mestrado Integrado em Engenharia Física Tecnológica do Instituto Superior Técnico. Um dos seus objetivos foi o de tornar acessível, nos primeiros anos da universidade, resultados matemáticos muito poderosos, permitindo uma abordagem pragmática à física moderna. Abandonou-se a formulação tradicional da matemática na sua estrutura tradicional de lema/teorema, optando-se por uma formulação mais discursiva, sem perder a exatidão dos resultados.
Este livro destina-se aos alunos universitários de graduação e de pós-graduação que queiram desenvolver bases sólidas nas técnicas modernas de modelação matemática e computacional, no estudo da mecânica quântica e da teoria dos campos. As matérias abordadas integram os currículos básicos dos cursos de Física, Matemática e Engenharia Eletrotécnica e Mecânica.
PREFÁCIO
1 MEDIDA E INTEGRAÇÃO: O INTEGRAL DE LEBESGUE
1.1 Conjuntos e funções mensuráveis
1.2 Medida de Lebesgue
1.3 Conjuntos de medida nula
1.4 O integral de Lebesgue
1.5 A dimensão de Hausdorff
2 ESPAÇOS DE FUNÇÕES E ESPAÇOS DE HILBERT
2.1 Espaços pré-hilbertianos
2.2 Espaços de Hilbert
2.3 Espaços de LebesZue
2.4 Operadores
3 BASES DE ESPAÇOS DE HILBERT
3.1 Bases de espaços de Hilbert
3.2 Polinómios de Legendre
3.3 Teoremas fundamentais
4 OPERADORES
4.1 Operadores
4.2 Operadores adjuntos, hermíticos e unitários
4.3 Operadores de Sturm-Liouville
5 SÉRIES DE FOURIER
5.1 Séries de Fourier
5.2 Fenómeno de Gibbs
5.3 Convergência das séries de Fourier
6 DISTRIBUIÇÕES
6.1 Funcionais lineares e distribuições
6.2 Derivadas de distribuições
7 A EQUAÇÃO DAS ONDAS I: OSCILAÇÕES TRANSVERSAIS
7.1 A equação das ondas
7.2 Soluções de equilíbrio da equação das ondas
7.3 Soluções estacionárias da equação das ondas
7.4 Teorema de d’Alembert
7.5 Energia de ondas transversais
7.6 Ressonância
7.7 Equilíbrio de uma membrana retangular
7.8 Oscilações de uma membrana circular
7.9 A equação das ondas e a transformação de Lorentz
7.10 Soluções fortes e fracas da equação das ondas
8 A TRANSFORMADA DE FOURIER E AS FUNÇÕES DE GREEN
8.1 A transformada de Fourier
8.2 A relação de incerteza de Heisenberg
8.3 A fórmula da soma de Poisson
8.4 Funções de Green
9 A EQUAÇÃO DO CALOR
9.1 A equação do calor em meios infinitos
9.2 A equação do calor em meios finitos
9.3 Uma simetria da equação do calor
10 A TRANSFORMADA DE LAPLACE
10.1 A transformada de Laplace
10.2 Funções de Green
11 REFLEXÃO, REFRAÇÃO E DISPERSÃO DE ONDAS
11.1 Reflexão e refração de ondas transversais
11.2 Lei de Snell
11.3 Velocidade de fase
11.4 Velocidade de grupo
12 A TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA
12.1 A transformada de Fourier discreta
13 EQUAÇÕES ÀS DERIVADAS PARCIAIS DE SEGUNDA ORDEM
13.1 Equações às derivadas parciais de segunda ordem
13.2 Curvas caraterísticas
13.3 O efeito Doppler
14 FONÕES E SOLITÕES
14.1 Ondas solitárias
14.2 Ondas lineares em redes: fonões
14.3 Ondas não lineares em redes: solitões
A O MÉTODO DOS RESÍDUOS
B GUIA PARA A RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS
BIBLIOGRAFIA
Rui Dilão