Matemática para Engenharia em Rn - Diferenciação, Integração e Tópicos Adicionais

PREFÁCIO
PREFÁCIO DOS AUTORES

A. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS
A.1. Noções básicas sobre vetores. Espaço tridimensional
A.1.1. Conceitos básicos e aritmética vetorial
A.1.2. Produto escalar e produto vetorial
A.1.2.1. Definição do produto interno ou produto escalar
A.1.2.2. Propriedades algébricas do produto interno ou produto escalar
A.1.2.3. Produto interno ou produto escalar – ângulo entre dois vetores
A.1.2.4. Produto interno ou produto escalar – ângulos diretores
A.1.2.5. Projeções ortogonais
A.1.2.6. Produto externo ou produto vetorial
A.1.2.7. Propriedades geométricas do produto externo ou produto vetorial
A.1.2.8. Propriedades algébricas do produto externo ou produto vetorial
A.1.2.9. Produto misto ou triplo produto escalar
A.1.2.10. Duplo produto vetorial
A.1.3. Equações de retas e planos
A.1.3.1. Equações paramétricas de retas
A.1.3.2. Equações vetoriais de retas
A.1.3.3. Planos no espaço tridimensional
A.1.3.4. Planos concorrentes
A.1.3.5. Distância envolvendo planos
A.1.4. Curvas e superfícies
A.1.4.1. Curvas
A.1.4.2. Superfícies planas
A.1.4.3. Superfícies quádricas
A.1.4.4. Superfícies cilíndricas
A.1.4.5. Superfícies de revolução
A.1.5. Exercícios propostos
A.2. Funções vetoriais e representação paramétrica de curvas
A.2.1. Funções vetoriais
A.2.2. Curvas planas e representação paramétrica de curvas
A.2.3. Definição de limite de uma função vetorial
A.2.4. Definição de continuidade de uma função vetorial
A.2.5. Definição de derivada de uma função vetorial
A.2.6. Integração de funções vetoriais
A.2.7. Definição de velocidade e aceleração
A.2.8. Curvas. Vetores tangentes e vetores normais
A.2.9. Triedro de Frenet
A.2.9.1. Plano osculador
A.2.9.2. Plano normal
A.2.9.3. Plano retificador
A.2.10. Segunda derivada do vetor posição (ou aceleração)
A.2.11. Comprimento de arco de uma curva
A.2.12. Parametrização relativamente ao comprimento de arco
A.2.13. Curvatura de uma curva
A.2.14. Exercícios propostos
A.3. Funções de Rn em Rm. Limites e continuidade
A.3.1. Funções de Rn em Rm
A.3.1.1. Noções básicas sobre campos escalares e campos vetoriais
A.3.1.2. Noções de topologia em Rn
A.3.1.3. Campos escalares – definições básicas, gráficos e conjuntos de nível
A.3.1.4. Campos vetoriais – definições básicas
A.3.2. Funções de campo escalar
A.3.2.1. Definição de limite
A.3.2.2. Propriedades dos limites
A.3.2.3. Definição de continuidade
A.3.2.4. Generalização em Rn
A.3.3. Funções de campo vetorial
A.3.3.1. Limite
A.3.3.2. Continuidade
A.3.4. Exercícios propostos
A.4. Diferenciabilidade e continuidade
A.4.1. Derivadas parciais e derivadas direcionais
A.4.1.1. Derivadas parciais
A.4.1.2. Derivadas direcionais
A.4.2. Derivadas direcionais e continuidade
A.4.3. Definição de um campo escalar diferenciável
A.4.4. Diferenciabilidade e continuidade de funções de campo escalar
A.4.5. Condição suficiente para a diferenciabilidade de um campo escalar
A.4.6. Regra da cadeia de um campo escalar ao longo de uma curva
A.4.7. Aplicações geométricas. Conjuntos de nível. Planos tangentes
A.4.8. Derivada direcional de um campo vetorial
A.4.9. Diferenciabilidade e continuidade de um campo vetorial
A.4.10. Exercícios propostos
A.5. Derivação de funções compostas
A.5.1. Regra da cadeia para derivadas de campos vetoriais
A.5.2. Extensão da regra da cadeia para derivadas de campos escalares
A.5.3. Regra da cadeia para derivadas de campos escalares
A.5.4. Exercícios propostosA.6. Funções implícitas e sua derivação de funções de campos escalares
A.6.1. Funções implícitas
A.6.2. Derivação implícita
A.6.3. Exercícios propostos
A.7. Fórmula de Taylor de funções de campo escalar
A.7.1. Fórmula de Taylor de ordem m para funções reais de variável real
A.7.2. Fórmula de Taylor de funções de campo escalar
A.7.3. Exercícios propostos
A.8. Máximos e mínimos de funções reais de n variáveis
A.8.1. Máximos e mínimos livres, pontos de sela de funções de campo escalar
A.8.2. Máximos e mínimos condicionados
A.8.3. Multiplicadores de Lagrange e extremos condicionados
A.8.4. Exercícios propostos

B. INTEGRAÇÃO EM RnB.1. Integral de linha
B.1.1. Curva lisa ou regular por partes
B.1.2. Definição de integral de linha
B.1.3. Integrais de linha de campos vetoriais
B.1.4. Integrais de linha na forma diferencial
B.1.5. Propriedades dos integrais de linha
B.1.6. Outras aplicações dos integrais de linha
B.1.7. Exercícios propostos
B.2. Integrais duplos
B.2.1. Definição de integrais duplos
B.2.2. Interpretação do integral duplo como o volume de um sólido
B.2.3. Método dos integrais iterados
B.2.4. Integral duplo sobre uma qualquer região do plano Oxy
B.2.4.1. Tipo I - Região verticalmente simples
B.2.4.2. Tipo II - Região horizontalmente simples
B.2.5. Propriedades dos integrais duplos
B.2.6. Integrais duplos em coordenadas polares. Definição
B.2.7. Integrais duplos em coordenadas polares. Região tipo
B.2.7.1. Região do tipo I
B.2.7.2. Região do tipo II
B.2.8. Outras aplicações dos integrais duplos
B.2.9. Jacobianos. Mudança de variáveis na integração dupla
B.2.10. Exercícios propostos
B.3. Integrais triplos
B.3.1. Definição de integrais triplos
B.3.2. Integrais triplos. Método dos integrais iterados
B.3.3. Integral triplo sobre uma qualquer região limitada do espaço
B.3.3.1. Região do tipo 1
B.3.3.2. Região do tipo 2
B.3.3.3. Região do tipo 3
B.3.4. Propriedades dos integrais triplos
B.3.5. Integrais triplos em coordenadas cilíndricas
B.3.6. Integrais triplos em coordenadas esféricas
B.3.7. Outras aplicações dos integrais duplos
B.3.8. Jacobianos. Mudança de variáveis na integração tripla
B.3.9. Exercícios propostos

C. TÓPICOS ADICIONAIS EM Rn
C.1. Tópicos complementares sobre o integral de linha
C.1.1. Teorema fundamental para o integral de linha
C.1.2. Teorema de Green
C.1.3. Integrais de fluxo e circulação para campos de velocidade
C.1.4. Fluxo através de uma curva plana simples
C.1.5. Exercícios propostos
C.2. Superfícies. Área de superfície. Integrais de superfície
C.2.1. Superfícies
C.2.1.1. Derivadas parciais de funções vetoriais de duas variáveis
C.2.1.2. Planos tangentes a superfícies parametrizadas
C.2.2. Área de superfície
C.2.2.1. Área de uma superfície parametrizada
C.2.2.2. Área de uma superfície definida implicitamente
C.2.2.3. Área de uma superfície z=f(x,y)
C.2.3. Integrais de Superfície
C.2.3.1. Definição de um integral de superfície
C.2.3.2. Avaliação de integrais de superfície
C.2.3.3. Integral de superfície sobre z=g(x,y), y=g(x,z) e x=g(y,z)
C.2.4. Propriedades dos integrais de superfície
C.2.5. Exercícios propostos
C.3. Aplicações de integrais de superfície. Fluxos
C.3.1. Fluxo de um campo vetorial
C.3.2. Fluxo de um campo vetorial. Notação diferencial
C.3.3. Operador vetorial diferencial (nabla)
C.3.3.1. Gradiente de um Campo Escalar
C.3.3.2. Divergência de um campo vetorial
C.3.3.3. Rotacional de um campo vetorial
C.3.3.4. Laplaciano de um campo escalar
C.3.3.5. Laplaciano de um campo vetorial
C.3.3.6. Propriedades vetoriais
C.3.3.7. Interpretação física da divergência
C.3.3.8. Interpretação física do rotacional
C.3.4. Teorema de Gauss ou da Divergência
C.3.4.1. Definição do teorema de Gauss ou da Divergência
C.3.4.2. Divergência vista como densidade de fluxo
C.3.5. Teorema de Stokes
C.3.5.1. Definição do teorema de Stokes
C.3.5.2. Utilização do teorema de Stokes para o cálculo do trabalho
C.3.5.3. Relação entre o teorema de Green e o teorema de Stokes
C.3.5.4. Rotacional visto como circulação
C.3.6. Resumo das fórmulas de integração
C.3.7. Exercícios propostos

SOLUÇÕES
REFERÊNCIAS

José A.F.O. Correia, nasceu no ano de 1984, em Peso da Régua, Portugal. É Professor no Departamento de Engenharia Mecânica (DEMEC/FEUP) e Investigador Sénior no CONSTRUCT/FEUP e LAETA/INEGI da Universidade do Porto (Portugal). Obteve os graus académicos de Graduação (2007) e Mestrado (2009) em Engenharia Civil pela Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro. É especialista em Construção Metálica e Mista pela Universidade de Coimbra (2010). É doutorado em Engenharia Civil - Estruturas pela Universidade do Porto (2015). Concluiu a Agregação em Engenharia Civil (Fadiga e Integridade Estrutural) na FEUP em 2024.

Carlos Conceição António, nasceu em 1957, em Lobito, Angola. É Professor Catedrático no Departamento de Engenharia Mecânica (DEMEC/FEUP). Trabalhou numa empresa industrial em Portugal, com responsabilidades de gestão, de 1976 a 1983. Em 1988, concluiu a licenciatura em Engenharia Mecânica na Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto (FEUP). Obteve o grau de Mestre em 1991 em Engenharia Estrutural e o grau de Doutor em Engenharia Mecânica em 1995, pela mesma faculdade, em ambos os graus defendendo teses na área da otimização. Obteve o título de Agregado em Engenharia Mecânica na FEUP em 2005 com uma lição de síntese em otimização.