"Em minha opinião este livro justifica-se plenamente pela qualidade do seu conteúdo e pela abordagem simultaneamente moderna, profunda, esclarecida, e altamente motivadora adoptada pelos autores. Ambos os autores devem ser excelentes professores que comunicam ideias com o entusiasmo de quem vive a Matemática no seu trabalho diário.
A Álgebra é aqui apresentada como uma disciplina multifacetada com amplas ligações e aplicações em diversas áreas da Matemática da actualidade e não meramente como uma linguagem académica que se convencionou ensinar aos alunos de Matemática mas sem que ninguém já saiba dizer muito bem porquê e para quê, para além do valor formativo do processo de aprendizagem que na Álgebra também se encontra.”
Jorge Manuel Meneses Guimarães Almeida
Professor Catedrático do Departamento de Matemática Pura
da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto
PREFÁCIO ix
1 NOÇÕES BÁSICAS DA ÁLGEBRA 1
1.1 Introdução 3
1.2 Grupos 8
1.3 Permutações 14
1.4 Homomorfismos e Isomorfismos 19
1.5 Anéis, Domínios Integrais e Corpos 28
1.6 Homomorfismos e Isomorfismos de Anéis 37
1.7 Os Quaterniões 45
1.8 Simetrias 49
2 OS NÚMEROS INTEIROS 59
2.1 Axiomática dos Inteiros 61
2.2 Desigualdades 66
2.3 Princípio de Indução 72
2.4 Somatórios e Produtos 78
2.5 Factores, Múltiplos e Divisão 84
2.6 Ideais e o Algoritmo de Euclides 89
2.7 O Teorema Fundamental da Aritmética 98
2.8 Congruências 105
2.9 Factorização Prima e Criptografia 115
3 OUTROS EXEMPLOS DE ANÉIS 119
3.1 Os Anéis Zm 121
3.2 Fracções e Números Racionais 133
3.3 Polinómios e Séries de Potências 138
3.4 Funções Polinomiais 146
3.5 Divisão de Polinómios 151
3.6 Os Ideais de K[x] 159
3.7 Divisibilidade e Factorização Prima 164
3.8 Factorização em D[x] 177
4 QUOCIENTES E ISOMORFISMOS 183
4.1 Grupos e Relações de Equivalência 185
4.2 Grupos e Anéis Quocientes 192
4.3 Números Reais e Complexos 201
4.4 Isomorfismos Canónicos de Grupos 209
4.5 Isomorfismos Canónicos de Anéis 217
4.6 Grupos Livres, Geradores e Relações 225
5 GRUPOS FINITOS 241
5.1 Grupos de Transformações 243
5.2 Teoremas de Sylow 249
5.3 Grupos Nilpotentes e Resolúveis 255
5.4 Grupos Simples 261
5.5 Grupos de Simetrias 266
5.5.1 Grupos de simetrias de figuras planas 267
5.5.2 Grupos de simetrias de figuras tridimensionais 269
6 MÓDULOS 277
6.1 Módulos sobre Anéis 279
6.2 Independência Linear 288
6.3 Produtos Tensoriais 293
6.4 Módulos sobre Domínios Integrais 302
6.5 Módulos de Tipo Finito sobre d.i.p. 308
6.5.1 Diagonalização de matrizes com entradas num d.i.p. 309
6.5.2 Decomposição em factores cíclicos invariantes 312
6.5.3 Decomposição em factores cíclicos primários 314
6.5.4 Componentes primárias 316
6.6 Classificações 318
6.6.1 Classificação de grupos abelianos de tipo finito 319
6.6.2 Forma canónica de Jordan 320
6.7 Categorias e Functores 324
7 TEORIA DE GALOIS 331
7.1 Extensões de Corpos 335
7.2 Construções com Régua e Compasso 338
7.3 Extensões de Decomposição 343
7.4 Homomorfismos de Extensões 350
7.5 Separabilidade 353
7.6 Grupo de Galois 358
7.7 A Correspondência de Galois 363
7.8 Algumas Aplicações 370
7.8.1 Expressões racionais simétricas 371
7.8.2 Números construtíveis 373
7.8.3 Resolução de equações algébricas por radicais 376
8 ÁLGEBRA COMUTATIVA 381
8.1 Zeros de Um Polinómio 383
8.2 Módulos e Anéis Noetherianos 386
8.3 Factorização de Ideais 392
8.4 Ideais Maximais e o Lema de Nakayama 399
8.5 O Teorema dos Zeros de Hilbert 404
8.6 Divisão de Polinómios 410
8.7 Bases de Grobner 416
A COMPLEMENTOS SOBRE A TEORIA DOS CONJUNTOS 429
A.1 Relações e Funções 431
A.2 Axioma da Escolha, Lema de Zorn e Indução 437
A.3 Conjuntos Finitos 444
A.4 Conjuntos Infinitos 450
SUGESTÕES DE LEITURA ADICIONAL 459
ÍNDICE REMISSIVO 465
Rui Loja Fernandes doutorou-se em Matemática pela Universidade do Minnesota, EUA, em 1994. Actualmente é Professor Associado do Departamento de Matemática do Instituto Superior Técnico. As suas actividades de investigação desenvolvem-se na área da Geometria Diferencial, pelas quais recebeu o Prémio Gulbenkian de Ciência 2001 - Ciências Básicas.
Manuel Ricou é Engenheiro Electrotécnico pelo IST e doutorado em Matemática pela Universidade do Minnesota, EUA. É Professor Associado Convidado do Departamento de Matemática do IST, onde lecciona desde 1972. Tem além disso uma extensa experiência profissional, ligada sobretudo à indústria das Telecomunicações e à engenharia de “software”.