Este livro apresenta uma abordagem clássica da teoria das funções de variável complexa e destina-se a ser usado como texto de apoio para as aulas de Análise Complexa e Equações Diferenciais ou outras unidades curriculares dos cursos de Engenharia que recorram à análise complexa.
Na primeira parte do livro são apresentados os fundamentos da álgebra dos números complexos, com especial ênfase na interpretação geométrica das suas propriedades. A parte principal do livro inclui os resultados clássicos do cálculo diferencial e integral com funções de variável complexa; é dada especial atenção ao teorema de Cauchy e suas consequências, aos desenvolvimentos em séries de potências e ao prolongamento analítico de funções de variável complexa.
A parte final do livro é dedicada à transformação conforme e à sua aplicação na resolução do problema de valores na fronteira para a equação de Laplace em duas dimensões; inclui uma tabela de transformações conformes de uso frequente.
Os numerosos exercícios propostos no final de cada capítulo permitem uma melhor consolidação dos conhecimentos adquiridos durante a leitura do texto.
PREFÁCIO
I ÁLGEBRA DOS COMPLEXOS
1 ÁLGEBRA DOS COMPLEXOS
1.1 O conjunto C dos números complexos, suporte de um espaço vectorial real, com dimensão 2
1.1.1 Introdução
1.1.2 Dimensão
1.1.3 Norma no espaço vectorial C
1.2 O conjunto C como suporte de um corpo, extensão do corpo real R
1.2.1 Introdução
1.2.2 O corpo C como extensão do corpo R
1.2.3 O corpo C, como extensão do corpo R, não pode ser ordenado
1.3 Representação geométrica. Forma trigonométrica. Radiciação
1.3.1 Introdução
1.3.2 Forma trigonométrica
1.4 As operações do espaço vectorial e do corpo C no plano de Argand
1.5 Complexos conjugados. Propriedades e aplicações
1.5.1 Definição
1.5.2 Propriedades
1.5.3 Aplicações
1.6 Exercícios
II ANÁLISE COMPLEXA
2 DIFERENCIAÇÃO
2.1 Topologia do espaço C. Conjuntos particulares
2.1.1 Introdução
2.1.2 Sucessões e séries
2.1.3 Funções de R em C. Linhas de Jordan. Regiões simples e multiplamente conexas
2.2 Funções de variável complexa. Limite. Continuidade
2.2.1 Generalidades. Significado geométrico
2.2.2 Limite. Continuidade
2.3 Derivada num ponto. Diferenciabilidade e analiticidade. Significado geométrico
2.3.1 Derivada e diferencial
2.3.2 Significado geométrico local
2.3.3 Analiticidade. Transformação conforme
2.3.4 Derivadas de ordem superior à primeira
2.3.5 Equações de Cauchy-Riemann. Funções harmónicas em R^2
2.4 Séries de potências. Funções transcendentes elementares
2.4.1 Séries de potências
2.4.2 A função exponencial
2.4.3 As funções hiperbólicas e circulares
2.5 Inversão de algumas funções elementares. Expressões multívocas. Pontos de ramificação e linhas de ramificação. Superfícies de Riemann
2.5.1 Alguns exemplos
2.5.2 Superfícies de Riemann
2.6 Pontos singulares
2.7 Exercícios
3 INTEGRAÇÃO
3.1 Definição e cálculo do integral
3.1.1 Introdução
3.1.2 Definição do integral. Propriedades
3.1.3 Cálculo do integral, por redução a integrais de Riemann
3.2 Teorema de Cauchy. Algumas consequências importantes
3.2.1 Teorema de Cauchy-Goursat
3.2.2 Algumas consequências imediatas
3.3 Fórmulas integrais de Cauchy. Consequências.
3.3.1 Fórmulas integrais de Cauchy
3.3.2 Consequências importantes das fórmulas integrais de Cauchy
3.4 Aplicação do Teorema dos Resíduos ao cálculo de certos integrais reais
3.4.1 Integral entre mais infinito e menos infinito de f(x)dx
3.4.2 Integral entre zero e dois pi de g(cos theta, sen theta) d theta
3.4.3 Lema de Jordan
3.4.4 Integrais que contêm ramos extraídos de expressões multívocas
3.5 Exercícios
4 DESENVOLVIMENTOS EM SÉRIE. PROLONGAMENTO ANALÍTICO
4.1 Desenvolvimento de Taylor
4.1.1 Teorema de Taylor
4.1.2 Alguns desenvolvimentos taylorianos
4.2 Desenvolvimento de Laurent
4.2.1 Teorema de Laurent
4.2.2 Zeros e singularidades. O ponto infinito
4.3 Prolongamento analítico
4.4 Exercícios
5 TRANSFORMAÇÃO CONFORME
5.1 Generalidades
5.1.1 Teorema da Aplicação de Riemann
5.1.2 Transformação de Schwarz-Christoffel
5.1.3 Transformação de fronteiras na forma paramétrica
5.1.4 Transformação de um semi-plano num círculo de raio 1
5.2 Algumas transformações elementares
5.2.1 Translacção
5.2.2 Homotetia em relação à origem
5.2.3 Rotação em torno da origem
5.2.4 Transformação w = az
5.2.5 Transformação de semelhança
5.2.6 Inversão
5.3 A transformação de Möbius
5.4 O problema fundamental. Aplicações à Física
5.4.1 Introdução
5.4.2 Os problemas de Dirichlet e de Neumann no plano
5.4.3 Aplicação da teoria da transformação conforme à resolução do problema de Dirichlet
5.5 Tabela de transformações conformes de uso frequente
5.6 Exercícios
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
António Horácio Simões de Abreu nasceu em Vouzela em 1923, filho de um casal de professores do ensino primário. Completou o curso liceal no Liceu Pedro Nunes onde, tendo tido a mais alta classificação a nível nacional, não recebeu o prémio correspondente do então Presidente Carmona por não ser filiado na Mocidade Portuguesa.
Concluiu o curso de Engenharia Electrotécnica, tendo sido o aluno mais classificado em Matemática pelos professores Mira Fernandes e Ferreira de Macedo. Recebeu o prémio “Mira Fernandes”. Foi assistente de Ferreira de Macedo no IST, no decurso do 4º ano do seu curso. Tal como aconteceu com Ferreira de Macedo, foi afastado de funções docentes do IST que só retomaria no final dos anos sessenta. Foi ainda professor da Escola Náutica Infante D. Henrique.
Casou em Lisboa, na cadeia de Caxias. António Simões de Abreu foi militante muito activo contra o regime salazarista vigente antes do 25 de Abril de 1974. No próprio dia em que concluía, em 1946, em Tancos, o 2º ciclo de oficiais milicianos, foi preso em regime agravado na cadeia de Penamacor. Seguiram-se ao longo da vida seis prisões pela PIDE/ DGS. Aderiu ao PCP em 1942, nas Juventudes Comunistas, tendo integrado desde finais de 1946 até 1948 a Comissão Central do MUD-Juvenil, entre outros com Areosa Feio, Júlio Pomar, Mário Soares, Octávio Pato, Óscar dos Reis, Rui Grácio e Salgado Zenha. Em 1958 trabalhou com Arlindo Vicente, e teve papel destacado no entendimento da sua candidatura com a de Humberto Delgado. No final de uma vida politicamente muito activa participou, pouco antes do 25 de Abril, no Congresso dos Engenheiros e, no início da revolução, no movimento sindical docente que teve então um amplo desenvolvimento. Recebeu a Ordem da Liberdade dias antes de falecer em 2005.