Esta é uma introdução suficientemente abrangente à teoria qualitativa de equações diferenciais, podendo em particular servir de texto base auto-contido a um segundo curso de equações diferenciais ordinárias. Pode também ser usado como ponto de partida para o estudo de tópicos importantes de equações diferenciais e sistemas dinâmicos que são frequentemente remetidos para disciplinas mais avançadas. Em particular, estudam-se equações lineares, funções de Lyapunov, conjugações topológicas, variedades invariantes, equações no plano, teoria de bifurcações, formas normais e sistemas hamiltonianos. Sendo auto-contido, o livro pode servir para estudo independente e pode ser usado como obra de referência em qualquer disciplina que use as equações diferenciais como ferramenta, designadamente em cursos de Biologia, Engenharia, Física, Economia, Gestão e naturalmente Matemática.
Prefácio
Introdução
I Conceitos Básicos e Equações Lineares
1 Equações Diferenciais Ordinárias
1.1 Noções básicas
1.1.1 Soluções e problemas de valor inicial
1.1.2 Noção de fluxo
1.2 Existência e unicidade de soluções
1.2.1 Formulação do Teorema de Picard-Lindelöf
1.2.2 Contracções em espaços métricos
1.2.3 Demonstração do teorema
1.3 Propriedades adicionais
1.3.1 Dependência Lipschitz nas condições iniciais
1.3.2 Dependência C^1 nas condições iniciais
1.3.3 Intervalo máximo de uma solução
1.4 Soluções para campos contínuos
1.5 Retratos de fase
1.5.1 Órbitas
1.5.2 Retratos de fase
1.5.3 Equações conservativas
1.6 Exercícios
2 Equações Lineares e Conjugações
2.1 Equações lineares não-autónomas
2.1.1 Espaço das soluções
2.1.2 Soluções fundamentais
2.2 Equações com coeficientes constantes
2.2.1 Exponenciais de matrizes
2.2.2 Resolução das equações
2.2.3 Retratos de fase
2.3 Fórmula de variação das constantes
2.4 Equações com coeficientes periódicos
2.5 Conjugações entre equações lineares
2.5.1 Noção de conjugação
2.5.2 Conjugações lineares
2.5.3 Conjugações topológicas
2.6 Exercícios
II Estabilidade e Hiperbolicidade
3 Estabilidade e Funções de Lyapunov
3.1 Noções de estabilidade
3.1.1 Estabilidade
3.1.2 Estabilidade assimptótica
3.2 Estabilidade de equações lineares
3.2.1 Equações lineares não-autónomas: caso geral
3.2.2 Coeficientes constantes e coeficientes periódicos
3.3 Estabilidade sob perturbações não-lineares
3.4 Funções de Lyapunov
3.4.1 Noções básicas
3.4.2 Critério de estabilidade
3.4.3 Critério de instabilidade
3.5 Exercícios
4 Hiperbolicidade e Conjugações Topológicas
4.1 Pontos críticos hiperbólicos
4.2 Teorema de Grobman-Hartman
4.2.1 Perturbações de matrizes hiperbólicas
4.2.2 Pontos críticos hiperbólicos
4.2.3 Estabilidade sob perturbações
4.3 Conjugações Hölder
4.4 Estabilidade estrutural
4.5 Exercícios
5 Existência de Variedades Invariantes
5.1 Noções básicas
5.2 Teorema de Hadamard-Perron
5.3 Existência de variedades invariantes Lipschitz
5.4 Regularidade das variedades invariantes
5.5 ExercíciosIII Equações no Plano
6 Teoria do Índice
6.1 Índice para campos vectoriais no plano
6.1.1 Noções básicas
6.1.2 Perturbações do caminho e do campo vectorial
6.2 Aplicações da noção de índice
6.2.1 Órbitas periódicas e pontos críticos
6.2.2 Teorema de ponto fixo de Brouwer
6.2.3 Teorema fundamental da álgebra
6.3 Índice de um ponto crítico isolado
6.4 Exercícios
7 Teoria de Poincaré-Bendixson
7.1 Conjuntos limite
7.1.1 Noções básicas
7.1.2 Propriedades adicionais
7.2 Teoria de Poincaré-Bendixson
7.2.1 Intersecções com secções transversais
7.2.2 Teorema de Poincaré-Bendixson
7.3 Exercícios
IV Tópicos Adicionais
8 Bifurcações e Variedades Centrais
8.1 Introdução a teoria de bifurcações
8.2 Variedades centrais e aplicações
8.2.1 Noções básicas
8.2.2 Variedades centrais
8.3 Aplicações das variedades centrais
8.4 Teoria de formas normais
8.5 Exercícios
9 Sistemas Hamiltonianos
9.1 Noções básicas
9.2 Sistemas hamiltonianos lineares
9.3 Estabilidade de pontos de equilíbrio
9.4 Integrabilidade e coordenadas acção-ângulo
9.5 Teorema KAM
9.6 Exercícios
Bibliografia
Luís Barreira é professor de Matemática no Instituto Superior Técnico. Doutorou-se em Matemática na Pennsylvania State University em 1996. Recebeu os prémios Gulbenkian Ciência em 2007, UTL/Santander Totta em Matemática em 2007 e Ferran Sunyer i Balaguer em 2008. É autor ou co-autor de mais seis livros, dois deles na IST Press, com os outros publicados por AMS, Birkhäuser, Cambridge e Springer. É ainda autor ou co-autor de mais de 100 artigos de investigação em matemática, sobretudo em equações diferenciais e sistemas dinâmicos.
Clàudia Valls é professora de Matemática no Instituto Superior Técnico. Doutorou-se em Matemática na Universitat de Barcelona em 1999. Recebeu o prémio UTL/Santander Totta em Matemática em 2008. É co-autora dos livros Stability of Nonautonomous Differential Equations (Springer) e Exercícios de Análise Complexa e Equações Diferenciais (IST Press). É ainda autora ou co-autora de mais de 100 artigos de investigação em matemática, sobretudo em equações diferenciais e sistemas dinâmicos.