De uma forma simples todos os conceitos relativos ao cálculo integral e respectivas aplicações.
Esta obra inclui duas componentes: uma teórica, na qual são abordadas as principais noções de base, e uma prática, que contempla um conjunto de exemplos concretos, pormenorizados na sua resolução, de forma a apoiar o leitor na sua aprendizagem. No final de cada capítulo é apresentada uma compilação de exercícios, acompanhados da respectiva solução, que permitirão avaliar o estado real dos conhecimentos adquiridos.
PREFÁCIO / CAPÍTULO I - INTEGRAIS SIMPLES: Definições e propriedades dos integrais simples: Definições; Propriedades; Teoremas / Cálculo de integrais simples: Primitivas ; Métodos gerais de integração: Integração por partes. Mudança de variáveis. Integração de elementos simples. Integração de fracções racionais. Integração de fracções racionais trigonométricas. Integração de fracções racionais com funções exponenciais e hiperbólicas. Integração de fracções racionais com radicais. Integração de funções radicais; Aplicações físicas: Cálculo da área de um domínio plano. Cálculo do comprimento de uma curva. Cálculo da superfície de corpos de revolução. Cálculo do volume de corpos de revolução. Cálculo das coordenadas do centro de massa. Teoremas de Guldin para o cálculo de áreas e de volumes de superfícies de revolução / PROBLEMAS / CAPÍTULO II - INTEGRAIS MÚLTIPLOS: Integrais duplos: Cálculo dos integrais duplos por integração unidimensional repetida (teorema de Fubini): Caso em que D é um domínio rectangular. Caso em que D é um domínio qualquer regular; Mudança da ordem de integração no caso de um domínio D regular; Mudança de variáveis; Exemplos de aplicações dos integrais duplos: Cálculo de áreas planas. Cálculo de volumes. Cálculo do centro de massa de uma superfície plana. Cálculo do momento de inércia / Integrais triplos: Cálculo dos integrais triplos por integração unidimensional repetida; Mudança de variáveis: Caso das coordenadas cilíndricas. Caso das coordenadas esféricas: Exemplos de aplicação dos integrais triplos. Cálculo do volume de um corpo. Determinação do centro de massa. Cálculo do momento de inércia / PROBLEMAS / CAPÍTULO III - INTEGRAIS CURVILÍNEOS: Definições, propriedades e cálculo dos integrais curvilíneos / Fórmula de Green no plano / Condições para que um integral curvilíneo seja independente da curva de integração / Aplicações: Área de um domínio limitado por uma curva fechada; Conceito de trabalho / PROBLEMAS / CAPÍTULO IV - INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE / Definições, propriedades e cálculo dos integrais de superfície: Superfície S definida pela sua equação; Superfície S definida parametricamente / Aplicações: Cálculo da área de uma superfície qualquer em 3D; Cálculo do centro de massa de uma superfície qualquer em 3D; Cálculo do momento de inércia de uma superfície qualquer em 3D / Fluxo: Cálculo geral; Teorema de Stokes; Teorema da divergência (ou de Ostrogradski) / PROBLEMAS / ANEXO - SUPERFÍCIES QUADRÁTICAS: Elipsóide / Esfera / Cilindro circular recto / Cilindro parabólico / Cilindro hiperbólico / Cone circular / Parabolóide / Hiperbolóide de uma folha / Hiperbolóide de duas folhas.
Carlos do Vale Martins