Este livro pretende fornecer aos estudantes dos cursos de Engenharia um texto que seja, simultaneamente, elementar e rigoroso e que lhes permita aprender os conceitos básicos do cálculo infinitesimal e as suas aplicações.
Conscientes da vastidão de possíveis caminhos a seguir na apresentação das matérias, os autores optaram por seguir uma sequência simples que tivesse em linha de conta os atuais ajustes dos objetivos da unidade curricular em que esta temática se enquadra, face à atual tendência para a diminuição dos tempos letivos e incentivo à utilização de software MATLAB®. Neste sentido, este livro está organizado em três capítulos, ao longo dos quais se procurou obedecer a uma estrutura evolutiva em torno do rigor e da formalidade, mas sem excessos de nomenclatura.
No primeiro capítulo estudam-se as funções reais de variável real, o segundo capítulo incide sobre o estudo da natureza de séries numéricas e funcionais e o terceiro capítulo destina-se ao cálculo integral.
Em cada capítulo é proporcionado um conjunto de exercícios variados e não repetitivos, em número suficiente e equilibrado, apresentandose alguns deles já resolvidos, propondo-se outros para resolução e ilustrando algumas aplicações práticas de integração de conhecimentos, recorrendo a software de cálculo algébrico e numérico.
1. Funções reais de variável real
1.1. Generalidades sobre funções
1.2. Função exponencial e função logaritmo
1.3. Funções trigonométricas e respetivas inversas
1.3.1. Funções seno e arco seno
1.3.2. Funções cosseno e arco cosseno
1.3.3. Funções tangente e arco tangente
1.3.4. Funções cotangente e arco cotangente
1.4. Limites e continuidade
1.4.1. Propriedades dos limites
1.5. Derivabilidade
1.6. Derivada de funções definidas na forma paramétrica
1.7. Diferencial
1.8. Aplicações analíticas (máximos, mínimos, zeros)
1.9. Aplicações numéricas
1.9.1. Método da Bissecção
1.9.2. Método da Falsa Posição
1.10. Exercícios resolvidos
1.10.1. Exercícios resolvidos em MATLAB
1.11. Exercícios propostos
1.12. Soluções dos exercícios propostos
2. Séries numéricas e funcionais
2.1. Sequências numéricas
2.1.1. Sistemas dinâmicos discretos
2.1.2. Método iterativo simples (ponto fixo)
2.1.3. Método de Newton-Raphson
2.2. Sucessões de números reais
2.2.1. Sucessões monótonas
2.2.2. Sucessões limitadas
2.2.3. Sucessões convergentes
2.2.4. Progressão aritmética
2.2.5. Progressão geométrica
2.3. Séries numéricas
2.3.1. Série aritmética
2.3.2. Série geométrica
2.3.3. Estudo de algumas séries numéricas fundamentais
2.3.4. Convergência de uma série numérica
2.3.5. Séries de termos positivos2.3.6. Séries alternadas
2.3.7. Cálculo aproximado da soma de uma série
2.3.8. Séries de termos de sinal qualquer ou arbitrário
2.4. Séries funcionais
2.4.1. Séries de potências
2.4.2. Séries de Taylor
2.4.3. Polinómios de Taylor e de Maclaurin
2.5. Exercícios resolvidos
2.5.1. Exercícios resolvidos em MATLAB
2.6. Exercícios propostos
2.7. Soluções dos exercícios propostos3. Cálculo integral em R
3.1. O integral indefinido
3.1.1. Integrais imediatos e quase imediatos
3.2. Métodos de integração
3.2.1. Integração por decomposição
3.2.2. Integração por partes
3.2.3. Integração por substituição (mudança de variável)
3.3. Técnicas de integração
3.3.1. Integração de frações racionais
3.3.2. Integração de produtos de funções trigonométricas
3.3.3. Integração de funções irracionais e transcendentes,
com recurso ao método da substituição
3.4. O integral definido
3.4.1. Propriedades do integral definido
3.4.2. Cálculo de integrais definidos através do método
da integração por partes
3.4.3. Cálculo de integrais definidos através do método da substituição
3.4.4. Interpretação geométrica do integral definido
3.4.5. Cálculo de áreas de regiões planas
3.5. O integral impróprio
3.5.1. Integrais impróprios de 1ª espécie
3.5.2. Integrais impróprios de 2ª espécie
3.5.3. Integrais impróprios mistos
3.5.4. Comparação de uma série de termos positivos com um integral
3.6. Resolução numérica de integrais
3.7. Exercícios resolvidos
3.7.1. Exercícios resolvidos em MATLAB
3.8. Exercícios propostos
3.9. Soluções dos exercícios propostos
Bibliografia
A. Formulário
Os autores são docentes no Departamento de Matemática do Instituto Superior de Engenharia do Porto (ISEP).
Ana C. Meira Castro é doutorada em Ciências de Engenharia e investigadora no CIGAR – Centro de Investigação em Geoambientes e Recursos
na área de geoambiente e análise de risco. Os seus principais interesses focam aquisição e análise de dados, modelação e análise de risco.
Ana Júlia Viamonte é doutorada em Ciências, área de Matemática e área específica de Álgebra Linear Numérica e investigadora no LEMA –
Laboratório de Engenharia Matemática do ISEP na área de didática do ensino da matemática e álgebra linear numérica.
António Varejão Sousa é doutorado em Ciências de Engenharia e investigador no INEB – Instituto de Engenharia Biomédica na área de
processamento e análise de imagem biomédica. Os seus principais interesses focam processamento e análise de dados.