Tal como os outros volumes desta colecção (Resumo da Matéria + Problemas Resolvidos) este livro pretende ser um auxiliar do estudante ou do leitor interessado em aperfeiçoar as suas próprias capacidades de cálculo e de resolução dos problemas que normalmente são introduzidos nas disciplinas de Álgebra Linear dos primeiros anos das Licenciaturas em Faculdades ou Institutos Superiores nas áreas das Ciências Exactas e da Economia.
Nele são abordados os seguintes temas:
• Lógica.
• Teoria dos conjuntos. Estruturas algébricas. Somas. Sistemas de equações lineares.
• Matrizes.
• Espaços vectoriais.
• Transformações lineares.
• Programação linear.
A abordagem parte muitas vezes da resolução de problemas simples, de uma forma quase intuitiva, que permitem antever a teoria a eles subjacente, contrariamente à usual apresentação teórica, prévia, que por vezes parece ininteligível e árida ao leitor que ainda não deitou mãos à obra de resolver alguns problemas. Gostamos de referir este método “às avessas” como constituindo uma aprendizagem com perspectiva histórica uma vez que a teorização e a axiomática aparecem historicamente apenas no final, depois de um imenso edifício de conhecimento ter sido já construído, com a finalidade de sistematizar e “arrumar a casa” se nos é permitida a liberdade de expressão.
Continuamos, neste livro, a tentar apresentar, de um ponto de vista essencialmente prático, as matérias expostas, normalmente leccionadas nos primeiros anos das licenciaturas.
Introdução xi
Capítulo 1
Lógica 1
1.1 Questões de notação. Designação e designado............................2
1.2 Identidade...................................................................................................5
1.3 Proposições.................................................................................................5
1.4 Operações lógicas.....................................................................................7
1.5 Quantificadores universal e existencial.
Segundas leis de De Morgan............................................................. 19
1.6 Condição necessária e condição suficiente.................................. 22
1.7 Dedução lógica. Silogismo e paralogismo.................................... 24
1.8 Lógica e conjuntos................................................................................ 28
Capítulo 2
Teoria dos conjuntos. Estruturas algébricas.
Somas. Sistemas de equações lineares 35
2.1 Conjuntos. Operações básicas.......................................................... 35
2.2 Grupóides, semi-grupos e grupos................................................... 44
2.3 Anéis e corpos......................................................................................... 56
2.4 Somas......................................................................................................... 60
2.5 Sistemas de equações lineares......................................................... 67
Capítulo 3
Matrizes 79
3.1 Algumas definições............................................................................... 79
3.2 Operações com matrizes..................................................................... 82
3.3 Matriz transposta, simétrica e hemi-simétrica............................ 94
3.4 Matrizes e sistemas de equações lineares...................................100
3.5 Característica de uma matriz...........................................................145
3.6 Vectores e matrizes.............................................................................146
Capítulo 4
E spaços vectoriais 153
4.1 Espaços vectoriais................................................................................153
4.2 Dependência e independência linear..........................................157
4.3 Subespaços vectoriais........................................................................171
4.4 Geradores e bases................................................................................173
4.5 Sistemas de equações lineares.......................................................191
4.6 Mudança de bases...............................................................................198
4.4 Espaço Euclideano...............................................................................206
Capítulo 5
Transformações lineares 213
5.1 Transformações lineares....................................................................213
5.2 Característica e Nulidade de uma transformação linear........224
5.3 Composição de transformações lineares....................................234
5.4 Valores e vectores próprios..............................................................237
5.5 Teorema de Cayley-Hamilton..........................................................253
5.6 Matrizes diagonalizáveis...................................................................259
Capítulo 6
Programação linear 269
6.1 Introdução..............................................................................................269
6.2 Programação não linear (resolução gráfica)...............................271
6.3 Programação linear (resolução gráfica).......................................278
6.4 Programação linear – Algoritmo do Simplex.............................282
6.5 Quadros do simplex............................................................................287
6.6 Questões de notação..........................................................................291
6.7 Outra interpretação geométrica do simplex.............................299
6.8 Variáveis limitadas inferiormente...................................................301
6.9 Variáveis negativas não limitadas..................................................304
6.10 Variáveis sem qualquer restrição....................................................308
6.11 Condições de igualdade....................................................................311
6.12 Condições de desigualdade C(xi) = bj............................................316
6.13 Preços sombra.......................................................................................320
6.14 O Problema Dual..................................................................................326
6.15 Condições activas e não activas.
Propriedade dos desvios complementares................................334
6.16 Introdução à análise de sensibilidade..........................................340
Capítulo 7
Testes de auto-avaliação 355
A nexo 1
Determinante 369
A nexo 2
Propriedade P5 dos determinantes 373
A nexo 3
O teorema de Cayley-Hamilton 375
An1.1 Demonstração por substituição simples.....................................368
An1.2 Demonstração simplificada.............................................................369
An1.3 Demonstração para A regular.........................................................371
nexo 4
Programação linear com o MS Excel 383
A nexo 5
Soluções dos exercícios propostos 391
A nexo 6
R esolução dos testes propostos 397